解决连通性问题的四种算法

最近做 B 站弹幕分析 的项目，学习 Jieba 中文分词的动态规划算法，发现自己的算法知识待系统的学习，遂读 Sedgewick 的《算法 C 实现第三版》，这一系列算法的代码放在 Github，文章会同步到 SF，随意转载。

连通性问题

问题概述

先来看一张图：

在这个彼此连接和断开的点网络中，我们可以找到一条 p 点到 q 点的路径。在计算机网络中判断两台主机是否连通、在社交网络中判断两个用户是否存在间接社交关系等，都可以抽象成连通性问题。

问题抽象

可将网络中的点（主机、人）抽象为对象，p-q 表示 p连接到q，连通关系可传递： p-q & q-r => p-r；为简述问题，将两个对象标记为一个整数对，则给定整数对序列就能描述出点网络。

如下图结点数 N = 5 的网络（使用 0 ~ N-1表示对象），可用整数对序列 0-1 1-3 2-4 来描述连通关系， 其中 0 和 3 也是连通的，存在两个连通分量：{0, 1, 3} 和 {2, 4}

问题：给定描述连通关系的整数对序列，任给其中两个整数 p 和 q，判断其是否能连通？

问题示例

输入     不连通    连通 
3-4     3-4
4-9     4-9
8-0     8-0
2-3     2-3
5-6     5-6
2-9             2-3-4-9    
5-9     5-9
7-3     7-3
4-8     4-8
5-6             5-6
0-2             0-8-4-3-2
6-1     6-1

对应的连通图如下，黑线表示首次连接两个结点，绿线表示两结点已存在连通关系：

算法一：快速查找算法

使用数组 id[i] 存储结点的值， i 为结点序号，即初始状态序号和数组值相同 ：

当输入前两个连通关系后， id[i] 变化如下：

可以看出， id[i] 的值是完成连通后，i 连接到的终点结点。若 p 和 q 连通，则 id[p] 和 id[q] 值应相等。

如完成 4-9 后， id[3] 和 id[4] 的值均为终点结点 9。此时判断 3 和 9 是否连通，直接判断 id[3] 和 id[9] 的值是否相等，相等则连通，不等则不存在连通关系。显然 id[3] == id[9] == 9，即存在连通关系。

算法实现

/** file: 1.1-quick_find.go */
package main

import ...

const N = 10
var id [N]int

func main() {
    reader := bufio.NewReader(os.Stdin)

    // 初始化 id 数组，元素值与结点序号相等
    for i := 0; i < N; i++ {
        id[i] = i
    }

    // 读取命令行输入
    for {
        data, _, _ := reader.ReadLine()
        str := string(data)
        if str == "\n" {
            continue
        }
        if str == "#" {
            break
        }

        values := strings.Split(str, " ")
        p, _ := strconv.Atoi(values[0])
        q, _ := strconv.Atoi(values[1])

        if Connected(p, q) {
            fmt.Printf("Already Connected nodes: %d-%d\n", p, q)
            continue
        }
        Union(p, q)
    }
}

// 判断整数 p 和 q 的结点是否连通
func Connected(p, q int) bool {
    return id[p] == id[q]
}

// 连通 p-q 结点
func Union(p, q int) {
    pid := id[p]
    qid := id[q]
    // 遍历 id 数组，将所有值为 id[p] 的结点全部替换为 id[q]
    for i := 0; i < N; i++ {
        if id[i] == pid {
            id[i] = qid
        }
    }
    fmt.Printf("Unconnected nodes: %d-%d\n", p, q)
}

运行效果：能判断 2-9 已存在连通关系

复杂度

快速查找算法在判断 p 和 q 是否连通时，只需判断 id[p] 和 id[q] 是否相等。但 p 和 q 不连通时会进行合并，每次合并都需要遍历整个数组。特性：查找快、合并慢

算法二：快速合并算法

概述

快速查找算法每次合并都会全遍历数组导致低效。我们想能不能不要每次都遍历 id[] ，优化为每次只遍历数组的部分值，复杂度都会降低。

这时应想到树结构，在连通关系的传递性中，p->r & q->r => p->q，可将 r 视为根，p 和 q 视为子结点，因为 p 和 q 有相同的根 r，所以 p 和 q 是连通的。这里的树是连通关系的抽象。

数据结构

使用数组作为树的实现：

• 结点数组 id[N]，id[i] 存放 i 的父结点
• i 的根结点是 id[id[...id[i]...]]，不断向上找父结点的父结点...直到根结点（父结点是自身）

使用树的优势

将整数对序列的表示从数组改为树，每个结点存储它的父结点位置，这种树有 2 点好处：

1. 判断 p 和 q 是否连通：是否有相同的根结点
2. 合并 p 到 q：将 p 的根结点改为 q 的根结点（无需全遍历，快速合并）

例子：

对于上边的整数对序列，查找、合并过程如下，橙色是合并动作、灰色是已连通状态、绿色是存储树的数组。

注意红色的 2-3，不是直接把 2 作为 3 的子结点，而是找到 3 的根结点 9，合并 2-3 与 3-4-9 ，生成 2-9

算法实现：

/** file: 1.2-quick_union.go */

// p 和 q 有相同的根结点，则是连通的
func Connected(p, q int) bool {
    return getRoot(p) == getRoot(q)
}

// 连通 p-q 结点
func Union(p, q int) {
    pRoot := getRoot(p)
    qRoot := getRoot(q)
    id[pRoot] = qRoot        // q 树的根此时有了父结点（p 树的根），完成合并
    fmt.Printf("Unconnected nodes: %d-%d\n", p, q)
}


// 获取结点 i 的根结点
func getRoot(i int) int {
    // 没到根结点就继续向上寻找
    for i != id[i] {
        i = id[i]
    }
    return i
}

算法三：带权快速合并算法

概述

快速合并算法有一个缺陷：数据量很大时，任意合并子树，会导致树越来越高，在查找根结点时要遍历数组大部分的值，依旧会很慢。下图中判断 p、q 是否连通，就需要查找 13 个结点：

如果树合并后的依旧比较矮，各子树之间平衡，则查找根结点会少遍历很多结点，下图中再判断 p、q 是否连通，只需查找 7 个结点：

平衡树的构建

构建平衡的树需要在合并时，将小树合并到大树上，保证合并后的树增高缓慢或者就不增高，从而使大部分的合并需要遍历的结点大大减少。区分小树、大树使用的是树的权值：子树含有结点的个数。

数据结构

树结点的存储依旧使用 id[i] ，但需要一个额外的数组 size[i]，记录结点 i 的子结点数。

算法实现

/**
file: 1.3-weighted_version.go
在快速合并算法的基础上，只需要在合并操作中，将小树合并到大树上即可
*/

var id [N]int
var size [N]int

func main() {
     // 初始化 id 数组，元素值与结点序号相等
    for i := 0; i < N; i++ {
        id[i] = i
        size[i] = i
    } 
      ...
}  

...

// 连通 p-q 结点
func Union(p, q int) {
    pRoot := getRoot(p)
    qRoot := getRoot(q)

    // p 树是大树
    if size[pRoot] < size[qRoot] {
        id[pRoot] = qRoot
        size[qRoot] += size[pRoot]
    } else {
        id[qRoot] = id[pRoot]
        size[pRoot] += size[qRoot]
    }

    id[pRoot] = qRoot // q 树的根此时有了父结点（p 树的根），完成合并
    fmt.Printf("Unconnected nodes: %d-%d\n", p, q)
}

算法四：路径压缩的加权快速合并算法

概述

加权快速合并算法在大部分整数对都是直接连接的情况下，生成的树依旧会比较高，比如序列：

10-8 8-6 11-9 12-9 9-6 6-3 7-3 3-1 4-1 5-1 1-0 2-0

生成的树如下：

此时判断 9-2 的连通关系，需要分别找到 9 和 2 的根结点。在寻找 9 的根结点时经过 6、3、1树，因为6、3、1树的子节点和 9 一样，根结点都是 0，所以直接把6、3、1树变成 0 的子树。如下：

优化

每次计算某个节点的根结点时，将沿路检查的结点也指向根结点。尽可能的展平树，在检查连通状态时将大大减少遍历的结点数目。

算法实现

/**
file: 1.4-path_compression_by_halving.go
改动的代码很少，但很精妙
*/

// 获取结点 i 的根结点
func getRoot(i int) int {
    // 没到根结点就继续向上寻找
    for i != id[i] {
        id[i] = id[id[i]]        // 将结点、结点的父结点不断往上挪动，直到都连接上了根结点
        i = id[i]
    }
    return i
}

复杂度

N 是结点集合的大小，T 是树的高度。

算法	初始化的复杂度	合并复杂度	查找复杂度
快速查找	N	N（全遍历）	1（数组取值对比）
快速合并	N	T（遍历树）	T（遍历树）
带权快速合并	N	lg N	lg N
路径压缩的带权快速合并	N	接近1（树的高度几乎为2）	接近1

总结

上边介绍了 4 种解决连通性问题的算法，从低效完成基本功能的快速查找，到不断优化降低复杂度接近1 的路径压缩带权快速合并。可以学到算法解决程序问题的大致步骤：先完成基本功能，再针对低效操作来优化降低复杂度。

原文：https://wuyin.io/2018/01/27/c...

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