兄弟连区块链教程区块链信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理一

　　区块链教程区块链信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理一，2018年下半年，区块链行业正逐渐褪去发展之初的浮躁、回归理性，表面上看相关人才需求与身价似乎正在回落。但事实上，正是初期泡沫的渐退，让人们更多的关注点放在了区块链真正的技术之上。 # 椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现 椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。 相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。 据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。 椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。 ### 椭圆曲线 一般，椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示： y² = x³ + ax + b，其中a、b为系数。 如果满足条件4a³+27b²≠0，则可以基于E(a, b)定义一个群。 ### 定义椭圆曲线的运算规则 椭圆曲线上的运算规则，由如下方式定义： 加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。 二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。 因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。 A + A = 2A = B 正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。 无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。 综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。 即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。 此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。 ### 有限域上的椭圆曲线运算 椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。 但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。 按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。 假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作： y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23) 此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点。 以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点： (0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。 另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。 如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。 ### 计算xG 相关公式如下： 有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定： * Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p * Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p * 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q） 因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下： 计算2G： * λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12 * Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6 * Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19 即2G为点(6,19) 计算3G： 3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19) * λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3 * Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3 * Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13 即3G为点(3, 13) 同理计算4G、5G...xG 未完待续感谢关注兄弟连区块链教程分享！