数据结构与算法系列之跳表(GO)

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详细了解跳表

前边的一篇文章中分享了二分查找算法,里边有说到二分查找算法依赖数组的随机访问特性,只能用数组来实现。如果数据存储在链表中就没法用二分查找算法了

本篇文章分享的「跳表」,可以实现类似二分的查找算法,时间复杂度也是「O(logn)」

假设有一个有序的单链表,如果想从该链表中查找某一个数据,只能从头到尾的遍历查找,它的时间复杂度是O(n)。如何提高查找的效率?

假设我像下图这样,在原来的单链表上增加一级索引,每两个节点取一个结点到「索引层」。其中down为指向下一级节点的指针

假设现在需要查找【16】这个节点。可以先遍历索引层节点,当遍历到【13】这个节点时,发现下一个节点为【17】,那么我们要找的节点【16】肯定就在它们中间。此时,通过索引节点【13】的down指针,下降到原始链表层中继续遍历,此时只需要再遍历两个节点就找到了我们要查找的【16】。如果直接在原始链表中查找【16】,需要遍历10个结点,现在只需要遍历7个结点

从上边可以发现,加了一层索引之后,查找一个节点需要遍历的节点数减少了,也就意味着查找的效率提高了,如果我们增加更多的索引层,效率会不会提高更多?

假设现在在原来的一级索引上边按同样的方法,再增加一层索引,如果再查【16】这个节点,只需要遍历6个结点了。查找一个节点需要遍历的节点又减少了

上边的例子中,原始链表的节点数量并不多,每增加一层索引,查询效率提高的并不明显,下边假设原始链表中有64个节点,建立5级索引

从图中可以看出,原来没有索引的时候,查找【62】这个节点需要遍历62个节点,现在只需要遍历11个节点,速度提高了很多。当链表的长度n比较大时,比如1000、10000的时候,在构建索引之后,查找效率的提升就会非常明显。「这种链表加多级索引的结构,就是跳表」

跳表的时间复杂度

如果链表里有n个结点,可以有多少级索引?

按照上边例子中的那种方式,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是n/2,第二级索引的结点个数大约就是n/4,第三级索引的结点个数大约就是n/8,依次类推,也就是说,第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2,那第k级索引结点的个数就是 n/(2^k)

假设索引有h级,最高级的索引有2个结点。通过上面的公式,可以得到n/(2^h)=2,从而求得 h=log2n-1(2为底)。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是log2n(2为底)。「在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历m个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)」

这个m的值是多少?按照上边的例子中这种索引结构,我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点,也就是说m=3,解释一下为啥是3

假设要查找的数据是x,在第k级索引中,我们遍历到y结点之后,发现x大于y,小于后面的结点z,所以我们通过y的 down 指针,从第k级索引下降到第k-1 级索引。在第k-1级索引中,y和 z之间只有3个结点(包含 y 和 z),所以,我们在k-1级索引中最多只需要遍历3个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历3个结点

通过上面的分析,得到m=3,所以「在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)」。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说,其实是基于单链表实现了二分查找。不过,天下没有免费的午餐,这种查询效率的提升,前提是建立了很多级索引,是一种空间换时间的思路

跳表的空间复杂度分析

假设原始链表大小为n,那第一级索引大约有n/2个结点,第二级索引大约有n/4个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列

`n/2, n/4, n/8,...,8, 4, 2
`

这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,「跳表的空间复杂度是 O(n)」。也就是说,如果将包含n个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近n个结点的存储空间

有没有办法降低索引占用的内存空间呢?

降低跳表空间复杂度的方法

前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,如果我们每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引,就不用那么多索引结点了

从图中可以看出,第一级索引需要大约n/3个结点,第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级,索引结点个数都除以3。为了方便计算,假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来,也是一个等比数列

`n/3, n/9, n/27, ... , 9, 3, 1
`

通过等比数列求和公式,总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引节点存储空间

实际上,在平时开发中,不必太在意索引占用的额外空间。在数据结构和算法中,习惯性地把要处理的数据看成「整数」,但是在实际的开发中,原始链表中存储的有可能是「很大的对象」,而索引结点只需要「存储关键值」和几个指针,并不需要存储对象,「所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了」

跳表操作

跳表是个「动态数据结构」,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是「O(logn)」

插入

在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,为了保证原始链表中数据的有序性,需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时

对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,查找某个节点的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是O(logn)

删除

「如果要删除的结点在索引中有出现,除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的」。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了

索引动态更新

当不停地往跳表中插入数据时,如果不更新索引,就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表

作为一种动态数据结构,它需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降

「后边会分享到的红黑树、AVL树这样的平衡二叉树,它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡」,而跳表是通过「随机函数」来维护前面提到的“平衡性”

当我们往跳表中插入数据的时候,可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层,就是随机函数要干的事情

通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值K,那就将这个结点添加到「第一级到第K级」这K级索引中

随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化

跳表的应用

「为什么Redis要用跳表来实现有序集合,而不是红黑树?」

Redis中的有序集合是通过跳表来实现的,严格点讲,其实还用到了「散列表」。后边的文章会分享到散列表,所以现在暂且忽略这部分。如果你了解Redis中的有序集合,它支持的核心操作主要有下面这几个

  • 插入一个数据;
  • 删除一个数据;
  • 查找一个数据;
  • 按照区间查找数据(比如查找值在 [100, 356] 之间的数据);
  • 迭代输出有序序列

其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,「按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高」

对于按照区间查找数据这个操作,跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点,然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效

Redis之所以用跳表来实现有序集合,还有其他原因,比如,跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单,但比起红黑树来说还是好懂、好写多了,而简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗

不过,跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些,很多编程语言中的Map类型都是通过红黑树来实现的。做业务开发的时候,直接拿来用就可以了,不用费劲自己去实现一个红黑树,但是跳表并没有一个现成的实现,所以在开发中,如果你想使用跳表,必须要自己实现


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本文来自:Segmentfault

感谢作者:书旅

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