注：本文是BAT真题收录很值得大家花心思看完，看完会有收获。
前言
算法是面试大公司必考的项目，所以面试前准备好算法至关重要，今天整理的常见的动态规划题目，希望可以帮到大家。
要想学习其他绝世武功，要先打好基础。算法属于内功，则更为重要。
强盗抢劫
题目：强盗抢劫一排房间，每个房间都有钱，不能抢劫两个相邻的房间，要求抢的钱最多。数组如：[2,7,9,3,1]
思路：当输入房间数为0,1,2时，这个很好判断，当输入房间数字大于3时，就要用到动态规划了，方程是:
dp[i]是当抢到第i个数时，能抢到最大值，从局部最大值推到最终结果最大。
假如抢到第5个房间，那么第5个房间有二种情况，抢不和不被抢，因为只能隔房间。
如果抢到第4个房间，有个最大值；抢到第3个房间，有个最大值。
如果加上第3房间最大值，加上第5房间的最大值，大于抢到第4个房间时的最大时。那就抢3,5而不抢4，反而，就按抢4的策略。
这样从前往后推，最后的结果一定是最大的。
代码如下：
跳台阶
题目描述：有 N 阶楼梯，每次可上一阶或两阶，求有多少种上楼梯的方法
先来分析下这个问题：
当N=1时，这个很好理解，只能跨1步这一种了
当N=2时，你每次可以跨1步或2步，那就是走2步或走两个1步
当N=3时，因为你可以跨1步或2步，那你在台阶1或2都能行。要计算到台阶1有多少种走法，到台阶2有多少种走法，然后2种相加，依次逆推。
当N=4时，你在台阶2或3都能行，计算到台阶2有多少种走法，到台阶3有多少种走法，然后2者相加，依次逆推。
总结如下：你会发现，这是斐波拉切数列，使用递归出现重复计算问题，所以选择动态规划算法。
| 层数 | 公式 | 种数 |
|---|---|---|
| 1 | f(1)=1 | 1 |
| 2 | f(2)=2 | 2 |
| 3 | f(3)=f(1)+f(2) | 3 |
| 4 | f(4)=f(2)+f(3) | 5 |
第三层：3种（在第一层走2步或在第二层走1步）
第四层：5种（在第二层走2步或在第三层走1步）
代码如下：
i,j首先赋边界值，res保存i+j的值，每次前进，i,j,res的值都会被赋到前面结果。
上面的算法是底向上，递归相当于自顶向下，避免了重复计算。
矩形最小路径和
题目：
给定一个，包含非负整数的 m x n 网格。请找出一条，从左上角到右下角的路径。使得路径上，所有数字总和为最小，每次只能向下，或者向右移动一步。
输入:[[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
先看动态方程：
| i值 | j值 | dp方程 |
|---|---|---|
| i>0 | j=0 | dpi = dpi−1 + gridi |
| i=0 | j>0 | dp0 = dp0 + grid0 |
| i<0 | j>0 | dpi = min(dpi−1, dpi) + gridi |
说明：因为 i=0 和 j=0 是临界条件，所以要先求出来。当 i>0 和 j>0 时，看如上数组，5 可以由上方3，或者左方 1 走过来。
当走5的时候，要选取上方3对应的dp，与左方1 对应的dp进行比较，选择较小值累加，这样走出来的才是最小值。最后推出，到右下角的最小值。
代码如下：
sum用来存储，从0到sumi路径的最小和，看看每次sum的变化，sum1=7意思是，从0到1路径最小和是7。
程序先把，第2行对应的sum都求出来，再把第2列对应的sum都求出来，最后求sum2就很容易了。
最后，sumi-1就是推出的最小值，上述代码就是dp方程的实现。
划分数组为两个相等的子集
题目：输入：[1, 5, 11, 5]， 输出：[1, 5, 5]和[11]
思路是，相对数组中每个数求dp，最后就会找到dp[target]是否为true。
如果 dp[j - nums[i]] 为true的，说明可以组成 j-nums[i]这个数，再加上nums[i]，就可以组成数字j。
当j = target是同样道理，要想找到dp[target]为true，就找到数组中，几个值的和为target时，对应下标的dp值为true，这样反推dp[target]为true。
代码如下：
乘积最大连续子数组
题目：
输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个，或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。
例如数组：arr[]={1, 2, 3, -2, 4, -3 } 最大子数组为 {1, 2, 3, -2, 4} 和为8。
思路：fmax(i) 表示，以第 i 个元素结尾的，乘积最大子数组的乘积，fmin(i) 表示，以第 i 个元素结尾的，乘积最小子数组的乘积。
这里分为最大和最小是因为数组可能存在负数，最大值乘以负数变成较小值，最小值乘以一个负数也可能变成最大值。
比较方程是：当前数乘以上一个最大值，当前值，当前数乘以上一个最小值。这三者比较，其中的最大值，就是我们要的最大值。
同样，每次也要把最小值计算出来，方式同上。
代码如下：
等差递减区间的个数
题目：求一个数组中等差递减区间个数，等差数列必须是连续的。
例子：A = [1, 2, 3, 4]，个数为3，分别是: [1, 2, 3], [2, 3, 4]
等差数列公式：
先看一个表：
| 数组 | 等差数列的数目 | 与上一组等差数列比较 |
|---|---|---|
| 1 2 3 | 1 | 1 - 0 = 1 |
| 1 2 3 4 | 3 | 3 - 1 = 2 |
| 1 2 3 4 5 | 6 | 6 6 - 3 = 3 |
| 1 2 3 4 5 6 | 10 | 10 - 6 = 4 |
其实仔细观察，发现这是一个斐波拉切数列，0,1….n-2数的求和，动态规划找到方程了，就发现非常简单了。
这就是规律，但需要自己去发现规律，有些题目咋看一脸懵逼，仔细看就会发现其中的规律。
dp[i] 表示到i位置时，子数组的个数。数组长度大于3。
下面看下代码：
下面再看代码执行值的变化过程：
| i值 | 子数组 | dp[i] | res |
|---|---|---|---|
| i = 2 | 123 | 1 | 1 |
| i = 3 | 123 234 1234 | 2 | 3 |
| i = 4 | 123 234 1234 2345 12345 | 3 | 6 |
| i = 5 | 123 234 1234 2345 12345 23456 123456 | 4 | 10 |
很明显，就是0,1….n-2数的求和。
最长回文子串
题目：求最长回文子串。输入: "babad"，输出: "bab"。注意: "aba" 也是一个有效答案。
dpi表示，字符s从下标i到下标j，是否为回文串。
如果bab是回文串，那么ababa也是回文串。因为，在两边增加了相同的数。同理，可以给出动态方程：
下面看下代码：
这段代码用利用了 dpi + 1，其前面已经计算出来了。
当k = 4时，字符串最长，最后符合条件的回文子串最长。注意整个循环遍历的过程，用k最为两个下标的间距，然后遍历每种可能的结果，判断是否回文。
最长的子串最后判断，将符合条件的子串保存起来。动态规划方程推测极为重要。
最长递增子序列
求一个数组的最长自增子序列。
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]，输出: 4。
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
代码如下：
dp[i]表示以a[i]这个元素结尾的最长递增子序列的长度。
想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾，其最长递增子序列。
nums[5] = 3，既然是递增子序列。我们只要找到，前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到最后，就可以形成新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。
当然，可能形成很多种新的子序列，但是我们只要最长的，把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可。
根据此依次类推到前面，d[0],d[1]…d[i]都是这样求出来的，看来动态规划有些是逆推的。
最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，输出: 6，解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6
解决思路：动态规划
动态规划方程：
动态规划：定义dp[i]表示为nums[i]为结尾的[连续子数组的最大和。
当遍历到nums[i]时，我们需要比较nums[i]和dp[i-1]+nums[i]谁更大，然后取较大值。
代码如下：
结尾
大厂面试算法是必考题，动态规划是常考的算法，面试务必要掌握。希望大家能找满意的工作。
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